Ext Functor

释义 Definition

Ext 函子（Ext functor）是同调代数与范畴论中的一个重要构造，用来度量代数对象（常见为模）之间“扩张（extension）”的可能性与障碍。最常见的是 \(\mathrm{Ext}^n_R(M,N)\)：描述在环 \(R\) 上，模 \(M\) 与 \(N\) 在第 \(n\) 阶的扩张类；其中 \(\mathrm{Ext}^1\) 与“短正合列的扩张分类”关系尤为直接。（该术语也可在更一般的阿贝尔范畴中出现。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ɛkst ˈfʌŋktər/

例句 Examples

We computed \(\mathrm{Ext}^1_R(M,N)\) to classify extensions of \(M\) by \(N\).
我们计算了 \(\mathrm{Ext}^1_R(M,N)\)，用来对“由 \(N\) 扩张得到 \(M\)”的扩张进行分类。

In an abelian category, the Ext functor arises as the right derived functors of \(\mathrm{Hom}(-, -)\), capturing higher extension data.
在阿贝尔范畴中，Ext 函子作为 \(\mathrm{Hom}(-, -)\) 的右导出函子出现，用来刻画更高阶的扩张信息。

词源 Etymology

Ext 是 extension（扩张/延拓） 的缩写，强调它与“扩张类/扩张序列”的关系；functor（函子）源自拉丁语词根（与“执行/作用”相关），在数学中指“在范畴之间保持结构的映射”。合起来，Ext functor 指“把对象对 \((M,N)\) 送到相应扩张群 \(\mathrm{Ext}^n(M,N)\)”的函子性构造。

相关词 Related Words

• Abelian
• Category
• Derived
• Exact
• Extension
• Functor
• Hom
• Homological
• Resolution
• Tor

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Henri Cartan & Samuel Eilenberg, Homological Algebra（系统引入并使用 Ext 与导出函子框架）
• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician（在范畴论语言中讨论 Ext 等构造的背景与工具）
• Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra（大量例子中使用 \(\mathrm{Ext}\) 计算与解释）
• Jean-Pierre Serre, Local Algebra（在交换代数与同调工具中频繁出现 Ext）
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry（在层上同调、导出函子与 Ext 的语境中出现）